E Funktion ableiten: Regeln, Beispiele & Aufgaben (2024)

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, ableiten kannst. Diese Ableitung brauchst du in mehreren Bereichen, wie zum Beispiel den Extremstellen oder Wendepunkten.

Wenn du noch einmal die Eigenschaften der e-Funktion einsehen möchtest, dann lies dich in das Kapitel "Exponentialfunktion" rein. Dort findest du alles, was du über diese Funktion wissen musst.

Allgemeines zur Ableitung der e-Funktion

Es ist bereits bekannt, dass die e-Funktion aus der Exponentialfunktion entsteht. Deshalb schauen wir uns zuerst die allgemeine Exponentialfunktion in ihrer reinen Form $f\left(x\right)=a^x$ an.

$f\left(x\right)=a^x\stackrel{ableiten}{\to }f\text{'}\left(x\right)=\ln \left(a\right)·a^x$

Reine Exponentialfunktion ableiten

Du weißt bereits, was herauskommt, wenn du die Exponentialfunktion ableitest. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest.

Wenn du erfahren möchtest, wie die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ der Exponentialfunktion zustande kommt, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt ansehen.

Die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ kannst du dir mithilfe des Differentialquotienten herleiten. Damit du dafür gut vorbereitet bist, solltest du die Inhalte der Artikel Differentialquotient und Potenzen beherrschen.

Die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ ist mithilfe des Differentialquotienten wie folgt definiert.

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

Setzt du nun die allgemeine Exponentialfunktion ein, erhältst du folgenden Ausdruck.

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

An dieser Stelle kannst du die Rechenregeln für Potenzen anwenden.

Zur Erinnerung:$x^{a+b}=x^a·x^b$

Daraus ergibt sich Folgendes:

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x·a^h-a^x}{h}$

Nun kannst du $a^x$ ausklammern und die Rechenregeln für Grenzwerte anwenden.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x·a^h-a^x}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x·(a^h-1)}{h}\\ & =& a^x·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\end{array}$

Jetzt müsstest du für den Ausdruck $\begin{array}{rcl}& & \underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\end{array}$ noch den Grenzwert bilden, der einer Konstante entspricht. Da es an dieser Stelle aber zu weit führen würde, wird dir dieser Wert vorgegeben.

$\begin{array}{rcl}& & \underset{h\to 0}{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{a^h-1}{h}\end{array}=\ln \left(a\right)$

Damit erhältst du folgende Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ für die allgemeine Exponentialfunktion:

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& a^x·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\\ & =& a^x·\ln \left(a\right)\end{array}$

Reine e-Funktion ableiten

Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, bei der die Basis $a$ der Eulerschen Zahl $e$ entspricht. Formulieren wir nun die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ der e-Funktion.

Du kannst die reine e-Funktion $f\left(x\right)=e^x$ so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern. Als kleine Eselsbrücke kannst du dir merken: "Bleib so wie du bist – so wie die e-Funktion beim Ableiten!".

Wenn du erfahren möchtest, warum die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ist, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Oftmals hast du in Aufgaben nicht die reine Version der e-Funktion vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern. Wie du auch diese ableiten kannst, erfährst du im nächsten Abschnitt.

Ableitungen der erweiterten e-Funktion

Interessanter ist die Ableitung der erweiterten e-Funktion mit Parametern. Diese benötigst du hauptsächlich, wenn du Extrempunkte und Wendepunkte berechnen sollst.

e-Funktion mit Vorfaktor ableiten

Betrachte zuerst die e-Funktion mit einem Vorfaktor $b$, während $c=1$ ist.

$f\left(x\right)=b·e^x$

Dabei musst du auf die Faktorregel zurückgreifen.

Hier die Faktorregel zur Erinnerung: $f\left(x\right)=a·g\left(x\right)\stackrel{ableiten}{\to }f\text{'}\left(x\right)=a·g\text{'}\left(x\right)$

Da du weißt, dass die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion ist, erhältst du folgende Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=b·e^x$.

$f\text{'}\left(x\right)=b·e^x$

Du kannst also auch die e-Funktion mit einem Vorfaktor $f\text{'}\left(x\right)=b·e^x$ so oft ableiten, wie du willst, sie wird sich nie verändern.

Halten wir diese Erkenntnis noch in einer Definition fest.

Wende gleich die erlernte Ableitung der e-Funktion mit Vorfaktor an dieser Übung an:

e-Funktion mit Kettenregel ableiten

Nun kannst du die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ für die gesamte erweiterte e-Funktion $f\left(x\right)=b·e^{cx}$ bilden. Dazu benötigst du die Kettenregel und die Faktorregel.

Zur Erinnerung, die Kettenregel lautet: $f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)\stackrel{ableiten}{\to }f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)·h\text{'}\left(x\right)$

Um die Kettenregel anzuwenden, musst du zuerst die äußere Funktion $g\left(x\right)$ und die innere Funktion $h\left(x\right)$ definieren.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& e^{h\left(x\right)}=e^{cx}\\ h\left(x\right)& =& cx\end{array}$

Du benötigst von diesen Funktionen dann noch jeweils die Ableitung. Da die e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt, bilden sich folgende Ableitungen.

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\left(x\right)& =& e^{cx}\\ h\text{'}\left(x\right)& =& c\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& b·g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)·h\text{'}\left(x\right)\\ & =& b·g\text{'}\left(cx\right)·c\\ & =& b·e^{cx}·c\\ & =& bc·e^{cx}\end{array}$

Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur $"x"$ steht, musst du die Kettenregel anwenden.

Halten wir das Ganze noch in einer Definition fest.

Wende auch hier zuerst einmal dein neu erlerntes Wissen zur Ableitung der erweiterten e-Funktion an einem Beispiel an.

e-Funktion mit Produktregel ableiten – Übungen

Oftmals gibt es Funktionen, in der nicht nur eine e-Funktion vorkommt, sondern diese mit einer weiteren Funktion multipliziert wird. Um auf eine solche Aufgabe vorbereitet zu sein, schaue dir die nächste Übung an.

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=e^{4x}·x^2$.

Lösung

Dazu benötigst du zuallererst die Produktregel.

Produktregel: $f\left(x\right)=g\left(x\right)·h\left(x\right)\stackrel{ableiten}{\to }f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)·h\left(x\right)+g\left(x\right)·h\text{'}\left(x\right)$

Dazu identifizieren wir die Funktionen $g\left(x\right)$ und $h\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& e^{4x}\\ h\left(x\right)& =& x^2\end{array}$

Es ergeben sich folgende einzelne Ableitungen.

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\left(x\right)& =& 4·e^{4x}\\ h\text{'}\left(x\right)& =& 2x\end{array}$

Damit ergibt sich folgende gesamte Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& 4·e^{4x}·x^2+e^{4x}·2x\\ & =& 2·e^{4x}·(2x^2+x)\end{array}$